[ Pobierz całość w formacie PDF ]
2. IDEA APROKSYMACJI
1
2.

2. IDEA APROKSYMACJI
2.1. Pręt jednowymiarowy
Sposób dojścia do sformułowania macierzy sztywności prostego elementu:
v
1
v
2
1
u
1
2
u
2
x
1
(Rys. 1)
L
Liniowa funkcja przemieszczeń:
u
=
c
1

c
2
x
(2.1)
Globalny wektor przemieszczeń
d
=[
d
1
d
2
]=[
u
1
u
2
]
Warunki brzegowe:
x
=
0 u
=
d
1

c
1
=
d
1
x
=
L u
=
d
2

c
2
=

d
2
−
d
1

L
Przemieszczenie dowolnego punktu:
u
=
[
1−
L
,
L
]
[
d
1
d
2
]
=
N d
(2.2)
Stan odkształcenia (tylko jedna składowa):
=[
x
]=
Lu
=
du
dx
=
dN
dx
d
=
Bd
(2.3)
B
=
N ,
x
=
1
L
[
−
1,1
]
J.Gieczewski, M.Kończal, A.Krzysztoń, D.Mejbaum, N.Roszak, M.Wojciechowski, J. Wojtkowiak
AlmaMater
 2. IDEA APROKSYMACJI
2
Wektor naprężenia (tylko jedna składowa):
=
[

x
]
=
D
=
E

x
=
E Bd
(2.4)
Macierz sztywności elementu:
K
=
V
B
T
DBdV
=
E
L
2
[
−
1
]
[
−
1,1
]
⋅
L
A
dAdx
=
E
L
[
1
−
1
−
1 1
]
(2.5)
Siła masowa zmienia się liniowo:
b
x
=
b
1

b
2
−
b
1
L
x
(2.6)
Wektor sił masowych działających w węzłach:
0
L
N
T
b
x
d x
=
L
6
[
2b
1

b
2
]
p
b
=
b
1

2b
2
(2.7)
Twierdzenie o minimum całkowitej energii potencjalnej: spośród wszystkich kinematycznie
dopuszczalnych pól przemieszczeń spełnia się to, które całkowitej energii potencjalnej
zapewnia minimum.
Całkowita energia potencjalna układu:
=
U
−
W
(2.8)
gdzie U – energia sprężysta ciała
W – praca sił zewnętrznych
U
=
∫

ij

ij
dV
=
V

T

dV
W
=
p
i
u
i

V
b
i
u
i
dV
=
u
T
p

V
u
T
bdV
(2.9)
Po wstawieniu zależności (#)do wzoru(#)otrzymujemy
=
1
2
V

T

dV
−
V
u
T
bdV
−
S
u
T
p
∧
dS
(2.10)
u
=
N d
=
Bd
=
D

(2.11)
Dla elementu
J.Gieczewski, M.Kończal, A.Krzysztoń, D.Mejbaum, N.Roszak, M.Wojciechowski, J. Wojtkowiak
AlmaMater
˙
 2. IDEA APROKSYMACJI
3

e
=
1
2
V e
d
T
B
T
DBd dV
−
V e
d
T
N
T
bdV
−
Se
d
T
N
T
p
✶
dS
(2.12)
∂
d
=
0
⇒
V
e
B
T
DBdV d
−
p
e
=
Kd
−
p
e
gdzie p
e
=
V
N
T
bdV

Se
N
T
p
✶
dS
(2.13)
Energia sprężysta elementu belkowego:
U
e
=
1
2
V

T

dV
=
2
V

T
D

dV
=
2
V e

x
2
dV
(2.14)
Odkształcenie sprężyste dla belek (Bernoulli'ego):

x
=−
y
d
2
v
dx
2
(2.15)
Po podstawieniu powyższej zależności do poprzedniego wzoru i uwzględnieniu że
A
y
2
dA
=
J
(2.16)
otrzymujemy:
2
V e

−
y
d
2
v

dV
=
E

d
2
v

2
dV
=
E
l

d
2
v

2
A
y
2
dAdx
=
E
2
0
l

d
2
v

2
V e
y
2
2
0
d x
2
d x
2
d x
2
d x
2
dx
(2.17)
Dla elementu belkowego:
y
d
1
d
3
x
(Rys. 2)
d
2
d
4
L
z
J.Gieczewski, M.Kończal, A.Krzysztoń, D.Mejbaum, N.Roszak, M.Wojciechowski, J. Wojtkowiak
AlmaMater
∂
e
2
2
U
e
=
E
d
2
 2. IDEA APROKSYMACJI
4
d
= [
d
1
d
2
d
3
d
4
]=[
v
1

1
v
2

2
]
=
dv
dx

x
=
du
x
dx
(2.18)
Zależności kinematyczne

1
=
d v
1
dx

2
=
d v
2
dx
(2.19)
Aproksymacja pola przemieszczeń:
v

x
=
c
1

c
2
x

c
3
x
2

c
4
x
3
(2.20)
Warunki brzegowe:
x
=
0 v

0
=
v
1
oraz
dv

0

dx
=
1
(2.21)
dv

1

dx
=
2
x
=
l v

1
=
v
2
oraz
Macierz funkcji kształtu elementu belkowego:
N
=
1
l
3
[
2x
3
−
3lx
2

l
3
,lx
3
−
2x
2
l
2

xl
3
,
−
2x
3

3lx
2
,lx
3
−
x
2
l
2
]
(2.22)
Przemieszczenie podłużne:
u

x
=−
y
dv
dx
(2.23a)
Odksztalcenia:

x
=
du
dx
=−
y
d
2
v
dx
2
=−
y

,gdzie
=
d
2
v
dx
2
(2.23b)
Operator różniczkowy:
L
=−
y
d
2
dx
2
(2.24)
J.Gieczewski, M.Kończal, A.Krzysztoń, D.Mejbaum, N.Roszak, M.Wojciechowski, J. Wojtkowiak
AlmaMater
 2. IDEA APROKSYMACJI
5
Zatem
B
=
LN
=−
y
l
3
[
12x
−
6l,6lx
−
4l
2
,
−
12x

6l,6lx
−
2l
2
]
(2.25)
Macierz sztywności elementu belkowego w układzie lokalnym:
K
e
=
EI
z
l
3
[
12 6l
−
12 6l
6l 4l
2
−
6l 2l
2
−
12
−
6l 12
−
6l
6l 2l
2
]
(2.26)
−
6l 4l
2
Zadanie 1
A
u = ?
P
L
Obliczyć o jaką wielkość wydłuży się pręt. Posłużyć się zasadą wariacyjną.
Korzystamy z równania:
=
U
−
L
U
=
1
2


ij

ij
d

Wyrażenia na σ
ij
i ε
ij
zapisane w przemieszczeniach:

ij
=
1
2

u
j,i

u
i, j


ij
=
E

ij
W jednoosiowym stanie naprężenia tensor σ
ij
ma postać:
[
]
,gdzie

11
=
A
=

11
0 0
0 0 0
0 0 0
Wektor przemieszczeń:
J.Gieczewski, M.Kończal, A.Krzysztoń, D.Mejbaum, N.Roszak, M.Wojciechowski, J. Wojtkowiak
AlmaMater
  [ Pobierz całość w formacie PDF ]