[ Pobierz całość w formacie PDF ]
1. PODSTAWY TEORETYCZNE
1
1.

1. PODSTAWY TEORETYCZNE
1.1. Wprowadzenie
W pierwszym wykładzie przypomnimy podstawowe działania na macierzach. Niektóre z nich zostały
opisane bardziej szczegółowo w innych opracowaniach wykładów. My zajmiemy się tymi, które przydatne
będą w zrozumieniu późniejszych przekształceń macierzowych. Ponadto przypomnimy podstawowe
zagadnienia z teorii sprężystości.
1.2. Podstawowe działania na macierzach
Przyjmijmy, że macierz [D] jest macierzą cosinusów kierunkowych
[
D
]
=
[

i ' j
]
(1.1)
Wówczas macierz transformowana jest równa macierzy odwrotnej (transformacja ortonormalna)
[
D
]
−
1
≡
[
D
]
T
(1.2)
Wektor to macierz wierszowa. Weźmy pod uwagę wektor o trzech składowych, który zapisujemy
ogólnie jako:
{
A
}=[
A
1
A
2
A
3
]
1 x3
(1.3)
Transponując wektor otrzymamy macierz (kolumnową) o wymiarach 1x3
[
A
]
T
=
[
A
1
A
2
A
3
]
3
×
1
(1.4)
Macierz odwrotna do danej to taka, która po przemnożeniu przez daną daje macierz jedynkową
{
A
}
−
1
⋅{
A
}=[
I
]
(1.5)
Macierz odwrotną obliczamy z zależności:
{
A
}
−
1
=
1
det
{
A
}
⋅
[
−
1

i

j
⋅
M
ij
]
T
(1.6)
gdzie
M
ij
jest macierzą minorów
Przykład:
J.Gieczewski, M.Kończal, A.Krzysztoń, D.Mejbaum, N.Roszak, M.Wojciechowski, J.Wojtkowiak
AlmaMater
 1. PODSTAWY TEORETYCZNE
2
Obliczyć macierz odwrotną do danej macierzy A, która jest określona następująco:
A
=
{
1
−
1 3
3 3 4
2
−
1 5
}
Obliczamy wyznacznik macierzy A
det A
=
1
⋅
3
⋅
5
−
1
⋅
4
⋅
2

3
⋅
3
⋅−
1
−
2
⋅
3
⋅
3
−−
1
⋅
4
⋅
1
−
5
⋅
3
⋅−
1
=−
1
Wyznaczamy macierz minorów
M
ij
=
[
19 7
−
9
−
2
−
1 1
−
13
−
5 6
]
Następnie obliczamy wartość wyrażenia
[
−
1

i

j
⋅
M
ij
]
T
M
ij
=
[
19 2
−
13
−
7
−
1 5
−
9
−
1 6
]
Dla przykładu obliczymy dwie wartości z macierzy odwrotnej do danej macierzy A
−
1
⋅
19
=−
19
A
23
=
1
−
1
⋅
5
=−
5
W analogiczny sposób obliczamy pozostałe wyrazy macierzy odwrotnej. W rezultacie otrzymamy
końcową postać macierzy odwrotnej w postaci:
{
A
}
−
1
=
{
−
19
−
2 13
7 1
−
5
9 1
−
6
}
Mnożenie macierzy można przedstawić przy pomocy poniższych zapisów:
J.Gieczewski, M.Kończal, A.Krzysztoń, D.Mejbaum, N.Roszak, M.Wojciechowski, J.Wojtkowiak
AlmaMater
A
11
=
1
1. PODSTAWY TEORETYCZNE
3
a) skalarnego (absolutnego)

A
⋅

B
=
c
(1.7)
b) wskaźnikowego
c
=
A
i
⋅
B
i
(1.8)
c) macierzowego

A
→[
A
]=
A
1
A
2
A
3
]
=[
A
1
A
2
A
3
]
T
[
]

B
→[
B
]=
B
1
B
2
B
3
(1.9)
[
]
3
×
1
=[
C
]
1
×
1

A
⋅

B
=[
A
]
T
[
B
]=[
A
1
A
2
A
3
]
1
×
3
⋅
B
1
B
2
B
3
Pamiętajmy o tym, że mnożenie dwóch macierzy jest możliwe tylko wtedy, gdy liczba kolumn
pierwszej z nich jest równa liczbie wierszy drugiej. Możemy to zapisać:
A
[
m
×
n
]
⋅
B
[
n
×
p
]
=
C
[
m
×
p
]
(1.10)
Łatwo zatem zauważyć, że np. w wyniku mnożenia dwóch macierzy o wymiarach 3x3 otrzymujemy
macierz także o wymiarach 3x3
[
A
]
3
×
3
[
B
]
3
×
3
=[
C
]
3
×
3
(1.11)
Wskaźnikowo mnożenie dwóch macierzy zapisujemy
A
ij
⋅
B
jk
=
C
ik
(1.12)
Transpozycja iloczynu dwóch macierzy

A B

T
=
B
T
A
T
(1.12)
1.3. Działanie tensora na wektor
Tensor działa na wektor jako operator
J.Gieczewski, M.Kończal, A.Krzysztoń, D.Mejbaum, N.Roszak, M.Wojciechowski, J.Wojtkowiak
AlmaMater
[
1. PODSTAWY TEORETYCZNE
4
T

a
=

b
T
ij
a
j
=
b
i
[
T
]
3
×
3
[
a
]
3
×
1
=[
b
]
3
×
1
(1.13)
co przedstawiają powyższe równania w zapisie odpowiednio absolutnym, wskaźnikowym oraz
wektorowym.
Działanie tensora można przykładowo zaprezentować w następujący sposób:

a
⋅
T
=
c
[
a
]
3
×
1
[
T
]
3
×
3

niewykonalne
a
i
⋅
T
ij
=
c
j
[
a
]
1
×
3
T
[
T
]
3
×
3
=[
b
]
1
×
3
T
(1.14)
A
i '
=
i ' j
A
j
[
A
'
]=[
D
][
A
]
A
j
=
ji '
A
i '
[
A
]=[
D
]
T
[
A
'
]
1.4. Transformacja tensora
Korzystając z prawa transformacji tensora wyznaczymy teraz współrzędne tensora w układzie
obróconym. Postać macierzową wektora

b
w układzie pierwotnym możemy przedstawić jako
[
b
]=[
T
][
a
]
(1.15)
natomiast w układzie obróconym
[
b
'
]=[
T
'
][
a
'
]
(1.16)
Szukany tensor w układzie obróconym wyznaczamy w następujący sposób - odwołujemy się do (1.1):
[
b
'
]=[
D
][
b
]
[
b
]=[
D
]
T
[
b
'
]
[
a
]=[
D
]
T
[
a
'
]
(1.17)
podstawiamy do wzoru (1.16) i otrzymujemy
[
D
]
T
[
b
'
]=[
T
][
D
]
T
[
a
'
]
[
b
'
]=[
T
][
D
][
D
]
T
[
a
'
]
[
b
'
]=[
T
][
a
'
]
[
T
'
]=[
D
][
T
][
D
]
T
(1.18)
1.5. Podstawowe sformułowania metody elementów skończonych
w nawiązaniu do równań mechaniki kontinuum
1.5.1. Podstawowe równania liniowej sprężystości
J.Gieczewski, M.Kończal, A.Krzysztoń, D.Mejbaum, N.Roszak, M.Wojciechowski, J.Wojtkowiak
AlmaMater
1. PODSTAWY TEORETYCZNE
5
W analizie będziemy przyjmować prostokątny układ współrzędnych kartezjańskich
[
1,2,3
]
lub
[
x , y , z
]
Stan naprężenia w nieskończenie małej objętości ciała, które poddano działaniu obciążenia opisujemy
w układzie współrzędnych za pomocą składowych tensora, które po uporządkowaniu w macierz

ij
zapiszemy:

ij
=
[

11

12

13

21

22

23

31

32

33
]
(1.19)
Naprężenia, dla których
i
=
j
, czyli

11
,

22
,

33
przedstawiają naprężenia normalne.
Natomiast naprężenia, dla których
i
≠
j
, czyli

12
,

21
,

13
,

31
,

23
,

32
przedstawiają
naprężenia styczne.
Tensor stanu naprężenia jest symetryczny, a więc zachodzą następujące zależności

12
=
21

13
=
31

23
=
32
(1.20)
Wykorzystując fakt, że tensor stanu naprężenia jest symetryczny, możemy ten tensor zapisać w
postaci wektora
=
[

xx

yy

zz

xy

xz

yz
]
T
(1.21)
Tutaj, jak poprzednio powtarzające się indeksy oznaczają składowe normalne, natomiast różne
odnoszą się do składowych stycznych.
Stan odkształcenia nawiązujący do opisu tensorowego możemy przedstawić w uporządkowanej
macierzy o składowych

ij

ij
=
[

11

12

13

21

22

23

31

32

33
]
(1.22)
Posługiwać się będziemy również wektorem odkształcenia

, którego składowe będą równe
=
[

11

22

33

12

13

23
]
T
(1.23)
Warto zauważyć, że w powyższym zapisie posługujemy się tzw. inżynierskimi definicjami
odkształceń stycznych, związanymi z odpowiednimi składowymi tensora odkształceń. Opisują to
następujące związki

12
=2
12

13
=2
13

23
=2
23
(1.24)
J.Gieczewski, M.Kończal, A.Krzysztoń, D.Mejbaum, N.Roszak, M.Wojciechowski, J.Wojtkowiak
AlmaMater
[ Pobierz całość w formacie PDF ]